泛函分析教程

序言
前言
第一章 距離空間
1.1 距離空間的定義及例子
1.2 距離空間中點(diǎn)列的收斂
1.3 距離空間中的點(diǎn)集理論
1.4 連續(xù)映射
1.5 稠密與稀疏及可分性
1.6 完備的距離空間
1.6.1 完備空間的概念
1.6.2 完備空間的例子
1.6.3 完備距離空間的兩個(gè)重要定理
1.6.4 距離空間的完備化
1.7 列緊集
1.7.1 列緊性
1.7.2 幾個(gè)具體空間中點(diǎn)集列緊性的判定
1.7.3 緊性
1.8 習(xí)題
第二章 賦范線性空間內(nèi)積空間
2.1 線性空間
2.2 線性運(yùn)算與距離的結(jié)合問題
2.3 賦范線性空間與Banach空間
2.4 有限維賦范線性空間
2.4.1 完備性
2.4.2 范數(shù)的等價(jià)性
2.4.3 緊性
2.5 Banach不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用
2.6 Hilbert空間
2.6.1 內(nèi)積空間與Hilbert空間的基本概念
2.6.2 內(nèi)積空間和賦范空間的關(guān)系
2.7 直交與投影
2.8 Hilbert空間中的坐標(biāo)系
2.9 習(xí)題二
第三章 拓?fù)淇臻g
3.1 拓?fù)淇臻g
3.1.1 拓?fù)淇臻g的基本概念
3.1.2 可數(shù)性公理及分離性公理
3.1.3 緊性與列緊
3.1.4 連通與道路連通
3.1.5 Zorn引理
3.2 Urysohn引理與Tietze擴(kuò)張定理
3.2.1 Urysohn引理
3.2.2 Tietze擴(kuò)張定理
3.3 網(wǎng)的收斂理論
3.3.1 網(wǎng)
3.3.2 子網(wǎng)與聚點(diǎn)
3.3.3 泛網(wǎng)
3.4 Tychonoff定理
……
第四章 有界線性算子與連續(xù)線性泛函
4.1 有界線性算子
4.2 有界線性算子空間與共軛空間
4.3 全連續(xù)線性算子
4.4 Hahn—Banach泛函延拓定理
4.5 共鳴定理
4.6 弱收斂
4.7 閉圖像定理和逆算子定理
4.8 自反空間與共軛算子
4.9 習(xí)題四
第五章 局部凸空間
5.1 拓?fù)渚€性空間
5.2 局部凸空間
5.3 凸集與凸性
5.4 度量化與賦范化
5.5 凸集分離定理
5.6 習(xí)題五
第六章 弱拓?fù)?br />6.1 對(duì)偶定理
6.2 Alaoglu定理
6.3 自反空間
6.4 Eberlein—Shmulyan定理
6.5 習(xí)題六
第七章 Hilbert空間中的譜理論
7.1 自共軛算子
7.2 投影算子與非負(fù)算子
7.3 自共軛算子的譜分解
7.4 酉算子的譜分解
7.5 正常算子的譜分解
7.6 習(xí)題七
第八章 抽象函數(shù)
8.1 抽象函數(shù)的簡單性質(zhì)
8.2 抽象函數(shù)的可導(dǎo)性與Riemann積分
8.3 抽象可測函數(shù)
8.4 實(shí)可測函數(shù)的Pettis積分與Bochner積分
8.5 習(xí)題八
第九章 Banach代數(shù)
9.1 基本定義和例子
9.2 理想和商
9.3 譜理論
9.4 Riesz函數(shù)演算
9.5 線性算子和緊線性算子的譜
9.6 習(xí)題九
第十章 C*代數(shù)
10.1 基本定義和性質(zhì)
10.2 Gelfand變換
10.3 交換C*代數(shù)上的函數(shù)演算
10.4 C*代數(shù)的正錐
10.5 C*代數(shù)的表示定理和Gelfand—Naimark—Segal構(gòu)造
10.6 譜測度和交換C*代數(shù)的表示定理
10.7 正常算子的譜理論
10.8 習(xí)題十
參考文獻(xiàn)