數(shù)學物理

第1章復變函數(shù)

1.1復數(shù)及幾何表示

1. 復數(shù)和復數(shù)域

2. 幾何表示

3. 球極投影

4. 代數(shù)基本定理

1.2函數(shù)定義

1. 映射與區(qū)域


2. 初等復變函數(shù)

1.3復變函數(shù)導數(shù)

1. 極限與導數(shù)

2. 柯西黎曼條件

3. 求導法則

1.4解析函數(shù)

1. 解析函數(shù)定義

2. 基本性質(zhì)

1.5多值函數(shù)

1. 支點和割線

2. 黎曼面

3. 復射影曲線

1.6復勢

1. 平面靜電場

2. 平面速度場

3. 平面熱流場

第2章路徑積分

2.1復變函數(shù)積分

1. 積分定義

2. 基本性質(zhì)

3. 計算路徑積分

2.2柯西定理

1. 單連通域

2. 多連通域

3. 原函數(shù)

2.3柯西積分公式

1. 單連通域

2. 多連通域

3. 導數(shù)的積分表示

4. 模定理

2.4多值函數(shù)積分

2.5橢圓函數(shù)

1. 橢圓積分

2. 積分取逆

3. 雅可比橢圓函數(shù)


數(shù)學物理

目錄



第3章級數(shù)展開

3.1復函數(shù)項級數(shù)

1. 級數(shù)收斂性

2. 冪級數(shù)

3.2泰勒級數(shù)展開

1. 泰勒定理

2. 解析函數(shù)零點

3.3洛朗級數(shù)展開

1. 雙邊冪級數(shù)

2. 洛朗定理

3.4奇點分類

1. 奇點

2. 孤立奇點分類

3. 支點分類

4. 解析函數(shù)分類

3.5奇性平面場

1. 源點與渦點

2. 復勢

第4章留數(shù)積分

4.1留數(shù)定理

1. 留數(shù)

2. 留數(shù)計算

3. 無窮遠點留數(shù)

4.2實函數(shù)積分

1. 三種基本積分類型

2. 實軸上有單極點

4.3特殊積分

1. 多值函數(shù)積分

2. 特殊回路積分

3. 半無窮積分

4. “狗骨頭”積分

4.4級數(shù)求和

第5章解析函數(shù)

5.1解析延拓

5.2解析延拓函數(shù)

1. Γ函數(shù)

2. B函數(shù)

3. ψ函數(shù)

4. 黎曼ζ函數(shù)

5.3對數(shù)積分

1. 零點與極點

2. 輻角原理

3. 儒歇定理

5.4亞純函數(shù)分解

1. 部分分式展開

2. 米塔列夫勒定理

5.5整函數(shù)乘積展開

1. 整函數(shù)因式分解

2. 無窮乘積收斂性

3. 魏爾斯特拉斯乘積定理

第6章共形映射

6.1保角變換

1. 調(diào)和方程不變性

2. 導數(shù)的幾何意義

3. 共形映射

6.2初等函數(shù)變換

1. 冪函數(shù)變換

2. 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)變換

3. 分式線性變換

6.3茹科夫斯基變換

1. 基本性質(zhì)

2. 機翼模型

6.4多角形變換

6.5共形自映射

1. 區(qū)域自映射

2. 雙曲幾何

3. 茹利亞集

4. 曼德布羅集

第7章傅里葉分析

7.1傅里葉級數(shù)

1. 正交三角函數(shù)集

2. 狄里希利定理

3. 指數(shù)形式傅里葉級數(shù)

4. 三維傅里葉級數(shù)

7.2傅里葉變換

1. 傅里葉積分

2. 基本性質(zhì)

3. 三維傅里葉變換

7.3卷積定理

1. 卷積函數(shù)

2. 相關函數(shù)

7.4泊松求和公式

第8章函數(shù)變換

8.1拉普拉斯變換

1. 絕對可積問題

2. 基本性質(zhì)

8.2拉普拉斯逆變換

1. 分解有理式法

2. 卷積定理法

3. 黎曼梅林反演法

8.3應用舉例

1. 解微分方程

2. 解積分方程

3. 實函數(shù)積分

4. 計算級數(shù)和

8.4z變換

1. z變換定義

2. 基本性質(zhì)

3. 反演變換

4. 應用舉例

5. 與拉普拉斯變換的關系

第9章微分方程通解

9.1常系數(shù)常微分方程

1. 齊次方程

2. 非齊次方程

3. 歐拉型方程

9.2變系數(shù)常微分方程

1. 常點

2. 正規(guī)奇點

3. 方程第二個解

4. 非齊次方程特解

9.3常系數(shù)偏微分方程

1. 齊次偏微分方程

2. 非齊次偏微分方程

9.4非線性方程

1. 波的色散

2. 孤波解

3. 怪波解

4. 橢圓方程解

5. 圓周擺

第10章方程與定解

10.1數(shù)學物理方程

1. 弦的橫向振動

2. 桿的縱向振動

3. 擴散方程

4. 熱傳導方程

5. 聲波方程

6. 其他物理方程

10.2定解問題

1. 定解條件

2. 銜接條件

10.3達朗貝爾公式

1. 無限長弦的波動方程

2. 端點反射

10.4偏微分方程分類

1. 特征方程

2. 偏微分方程標準型

10.5正交曲線坐標系

1. 坐標變換

2. 三維拉普拉斯算符

3. 高維拉普拉斯算符

第11章分離變量法

11.1齊次邊界問題

1. 齊次微分方程

2. 非齊次微分方程

3. 矩形域問題

11.2非齊次邊界問題

11.3周期邊界問題

1. 齊次方程(拉普拉斯方程)

2. 非齊次方程(泊松方程)

11.4銜接問題

第12章積分變換法

12.1廣義函數(shù)

1. δ函數(shù)

2. 基本性質(zhì)

3. 階躍函數(shù)

12.2傅里葉變換法

1. 無限空間問題

2. 半無限空間問題

12.3拉普拉斯變換法

第13章球諧函數(shù)

13.1勒讓德方程

1. 球坐標系

2. 本征值問題

3. 基本性質(zhì)

4. 廣義傅里葉級數(shù)

5. 母函數(shù)

6. 遞推關系

13.2連帶勒讓德方程

1. 連帶勒讓德函數(shù)

2. 基本性質(zhì)

3. 廣義傅里葉級數(shù)

13.3一般球面函數(shù)

1. 球面函數(shù)方程

2. 廣義傅里葉級數(shù)

3. 加法公式

第14章本征函數(shù)論

14.1線性空間基礎

1. 度量空間

2. 完備性

3. 內(nèi)積空間

14.2希爾伯特空間

1. 貝塞爾不等式

2. 完備性關系

3. 函數(shù)空間

4. 連續(xù)基

14.3斯圖姆劉維爾系統(tǒng)

1. 自伴算符

2. 斯圖姆劉維爾本征方程

14.4本征值理論

1. 基本性質(zhì)

2. 廣義傅里葉級數(shù)

3. 幾種本征值問題

14.5經(jīng)典正交多項式

1. 正交多項式

2. 正交多項式分類

3. 遞推關系

4. 常見正交多項式

5. 母函數(shù)

6. 按正交多項式展開

第15章特殊函數(shù)

15.1貝塞爾函數(shù)

1. 圓柱坐標系

2. 三類貝塞爾函數(shù)

3. 基本性質(zhì)

4. 本征值問題

5. 廣義傅里葉級數(shù)

6. 母函數(shù)

15.2虛宗量貝塞爾函數(shù)

15.3球貝塞爾函數(shù)

1. 球坐標系亥姆霍茲方程

2. 基本性質(zhì)

3. 本征值問題

4. 廣義傅里葉級數(shù)

5. 平面波展開

6. 變形貝塞爾方程

15.4特殊函數(shù)分類

1. 富克斯方程

2. 正規(guī)奇點

3. 超幾何函數(shù)

4. 特殊函數(shù)類

15.5合流超幾何函數(shù)

第16章格林函數(shù)

16.1格林函數(shù)定義

1. 形式理論

2. 二階線性微分方程

3. 斯圖姆劉維爾算符

16.2位勢方程

1. 基本解

2. 電像法

3. 本征函數(shù)展開法

16.3應用舉例

16.4發(fā)展方程

1. 含時問題格林函數(shù)

2. 本征函數(shù)展開法

3. 拉普拉斯變換法

16.5微擾展開

1. 形式解

2. 級數(shù)展開

第17章變分法

17.1泛函與變分

1. 最速降問題

2. 泛函變分

17.2泛函極值

1. 變分法基本引理

2. 歐拉拉格朗日方程

3. 多元函數(shù)

4. 約束系統(tǒng)

5. 可變端點

17.3物理學之數(shù)學原理

1. 費馬原理

2. 最小作用量原理

3. 對稱性與守恒定理

4. 哈密頓力學

17.4微分方程定解問題

1. 本征值問題

2. 非齊次方程邊值問題

17.5瑞利里茲近似

附錄

參考文獻