分數階積分和導數：理論與應用

目錄
譯者序
俄文版序言
英文版前言
俄文版前言
分數階積分和導數主要形式的符號
歷史簡述
**章 區(qū)間上的分數階積分和導數 1
1 預備知識 1
1.1 Hλ與Hλ（ρ）空間 1
1.2 Lp與Lp（ρ）空間 6
1.3 一些特殊函數 11
1.4 積分變換 19
2 Riemann-Liouville分數階積分與導數 24
2.1 Abel 積分方程 24
2.2 Abel 方程在可積函數空間中的可解性 25
2.3 分數階積分和導數的定義及其*簡單性質 27
2.4 復分數階積分和導數 31
2.5 一些初等函數的分數階積分 33
2.6 分數階積分和微分的逆運算 35
2.7 復合公式與算子半群的聯系 38
3 H.lder函數與可和函數的分數階積分 43
3.1 Hλ空間中的映射性質 44
3.2 Hλ0（ρ）空間中的映射性質 47
3.3 Lp 空間中的映射性質 55
3.4 Lp（ρ）空間中的映射性質 58
4 **章的參考文獻綜述及補充信息 68
4.1 歷史注記.68
4.2 其他結果概述 （與§§1—3相關） 71
第二章 實軸和半軸上的分數階積分和導數 81
5 分數階積分和導數的主要性質.81
5.1 定義和基本性質 81
5.2 H.lder函數的分數階積分 85
5.3 可和函數的分數階積分 89
5.4 Marchaud分數階導數 94
5.5 Hadamard有限部分積分 96
5.6 有限差分的性質及α>1時的Marchaud分數階導數.100
5.7 與分數次冪的聯系 103
6 函數的Lp-函數的分數階積分表示 104
6.1 Iα（Lp）空間 105
6.2 Lp-函數的分數階積分的逆 106
6.3 Iα（Lp）空間的刻畫 108
6.4 函數可表示為分數階積分的充分條件 111
6.5 Iα（Lp）-函數的連續(xù)積分模 116
7 分數階積分和導數的積分變換 116
7.1 Fourier變換 117
7.2 Laplace變換 119
7.3 Mellin變換 121
8 廣義函數的分數階積分和導數 123
8.1 基本思想 123
8.2 實軸R1的情形檢驗函數Lizorkin空間 124
8.3 Schwartz方法 131
8.4 半軸的情形基于共軛算子的方法.132
8.5 McBride方法 134
8.6 區(qū)間的情形.135
9 第二章的參考文獻綜述及附加信息 136
9.1 歷史注記 136
9.2 其他結果概述（與§§5—8相關） 139
9.3 分數階積分和導數的表格 150
第三章 分數階積分和導數的進一步性質 154
10 帶權的分數階積分和導數的復合運算.154
10.1 兩個帶冪權的單邊積分復合運算 155
10.2 雙邊帶冪權積分的復合運算 166
10.3 多個帶冪權積分的復合運算 168
10.4 帶指數權及冪指數權積分的復合運算 172
11 分數階積分與奇異算子的聯系 175
11.1 奇異算子S 176
11.2 全直線的情況 178
11.3 區(qū)間及半直線的情形 180
11.4 一些其他的復合關系 185
12 勢型分數階積分 188
12.1 實軸的情形Riesz勢和Feller勢 188
12.2 Riesz勢在半軸上的截斷 192
12.3 半軸的情形.194
12.4 有限區(qū)間的情形.195
13 區(qū)間上可表示為分數階積分的函數 196
13.1 區(qū)間上的Marchaud導數 196
13.2 Lp 中函數的分數階積分的刻畫 200
13.3 分數階積分的延拓、限制與 “縫合” 204
13.4 Holder函數的分數階積分的刻畫 207
13.5 加權Holder空間的并集上的分數階積分 214
13.6 具有特定連續(xù)模函數的分數階積分和導數 216
14 實變函數的分數階積分-微分的其他結果.221
14.1 Lipschitz空間*和* 221
14.2分數階積分在*空間中的映射性質 223
14.3 在整條直線上有定義且在每個有限區(qū)間內屬于*的函數的分數階積分和導數 226
14.4 絕對連續(xù)函數的分數階導數 231
14.5 分數階積分和導數的Riesz中值定理及不等式 234
14.6 分數階積分與級數和積分的求和 238
15 廣義Leibniz法則 239
15.1 實軸上解析函數的分數階積分-微分 239
15.2 廣義Leibniz法則 242
16 分數階積分的漸近展開 245
16.1 漸近展開的定義與性質 246
16.2 冪漸近展開的情形 248
16.3 冪對數漸近展開的情形 253
16.4 冪指數漸近展開的情形 256
16.5 Abel方程的漸近解 257
17 第三章的參考文獻綜述及附加信息 259
17.1 歷史注記 259
17.2 其他結果概述（與§§10—16相關） 265
第四章 分數階積分和導數的其他形式 282
18 Riemann-Liouville分數階積分的直接修正與推廣 282
18.1 Erdelyi-Kober型算子 282
18.2 函數關于另一個函數的分數階積分 285
18.3 Hadamard分數階積分-微分 288
18.4 Bessel分數階積分-微分的一維修正和空間* 291
18.5 Chen分數階積分 295
18.6 Dzherbashyan廣義分數階積分 301
19 周期函數的Weyl分數階積分和導數 302
19.1 定義與Fourier級數的聯系.303
19.2 Weyl分數階積分的基本性質 307
19.3 周期函數的分數階積分的其他形式 309
19.4 Weyl分數階導數與Marchaud分數階導數的一致性 310
19.5 周期函數關于Weyl分數階積分的可表示性 312
19.6 Holder函數空間中的Weyl分數階積分-微分 314
19.7 *空間中周期函數的分數階積分和導數.319
19.8 三角多項式的分數階積分的 Bernstein 不等式 320
20 基于分數階差分的分數階積分-微分方法 （Grunwald-Letnikov方法） 322
20.1 分數階差分及其性質 323
20.2 Grunwald-Letnikov導數與Marchaud導數的一致性周期情形 327
20.3 Grunwald-Letnikov導數與Marchaud導數的一致性非周期情形 331
20.4 有限區(qū)間上的Grunwald-Letnikov分數階微分 334
21 帶冪對數核的算子 336
21.1 在*空間中的映射性質.337
21.2 在*空間中的映射性質 343
21.3 在Lp空間中的映射性質 347
21.4 在Lp（ρ）空間中的映射性質 349
21.5 漸近展開 355
22 復平面上的分數階積分和導數 358
22.1 復平面上分數階積分-微分的定義和主要性質 359
22.2 解析函數的分數階積分-微分 363
22.3 解析函數分數階積分-微分的推廣 368
23 第四章的參考文獻綜述及附加信息 372
23.1 歷史注記 372
23.2 其他結果概述（與§§18—22 相關）.378
23.3 分數階微積分會議上提出的一些問題的回答 （紐黑文，1974） 400
第五章 多變量函數的分數階積分-微分 402
24 分數階偏及混合積分和導數.402
24.1 多維Abel積分方程 403
24.2 分數階偏及混合積分和導數 403
24.3 兩個變量的情形算子張量積 407
24.4 分數階積分算子在*空間（具有混合范數）中的映射性質 408
24.5 與奇異積分的聯系 410
24.6 Marchaud形式的分數階偏和混合導數 411
24.7 *中函數的分數階積分的刻畫 413
24.8 分數階積分和導數的積分變換 415
24.9 關于分數階積分-微分不變的Lizorkin函數空間 417
24.10 多變量周期函數的分數階導數和積分 418
24.11 Grunwald-Letnikov分數階微分 420
24.12 多勢型算子 421
25 Riesz分數階積分-微分 424
25.1 預備知識 424
25.2 Riesz勢及其Fouirer變換不變Lizorkin空間 429
25.3 *空間和*空間中算子*的映射性質.433
25.4 Riesz微分（超奇異積分） 436
25.5 單邊Riesz勢 440
26 超奇異積分與 Riesz 勢空間 442
26.1 歸一化常數*作為參數α的函數的研究 442
26.2 非中心差分情形下的光滑函數超奇異積分的收斂性和有限差分階從 l到l>2[α/2]的減少 447
26.3 作為 Riesz 勢的逆的超奇異積分 449
26.4 具有齊次特征的超奇異積分 453
26.5 具有齊次特征的超奇異積分是與分布的卷積 459
26.6 偏導數微分算子的超奇異積分表示 461
26.7 Riesz勢空間*及其基于超奇異積分的刻畫空間* 465
27 Bessel 分數階積分-微分 470
27.1 Bessel核及其性質 470
27.2 與Poisson， Gauss-Weierstrass及元調和連續(xù)半群的聯系 472
27.3 Bessel 勢空間 475
27.4 *基于超奇異積分的實現 478
28 多維分數階積分-微分的其他形式 483
28.1 具有Lorentz距離的Riesz勢（雙*Riesz勢） 484
28.2 拋物勢 490
28.3 基于超奇異積分實現的分數次冪算子*和* 493
28.4 分數階混合積分和導數的金字塔類似形式 496
29 第五章的參考文獻綜述及附加信息 504
29.1 歷史注記 504
29.2 其他結果概述 （與§§24—28 相關） 510
第六章 應用于帶冪和冪對數核的**類積分方程 534
30 廣義 Abel 積分方程 535
30.1 控制奇異積分方程 535
30.2 全軸上的廣義Abel方程 538
30.3 區(qū)間上的廣義Abel方程 543
30.4 常系數的情形 548
31 帶冪核的**類方程的Noether性質 554
31.1